SSC (Software for Simplex Calculation) è una libreria Java open-source per la risoluzione di problemi di programmazione lineare. Distribuita come software libero (FOSS: free and open-source software), SSC è disponibile per il download su GitHub e Maven. La libreria è corredata da esempi e da una documentazione completa e offre un'integrazione semplice nei progetti Java, rendendola ideale per chiunque cerchi una soluzione efficiente per problemi di ottimizzazione.

La libreria SSC supporta la formulazione del problema di programmazione lineare in diversi formati: testo, coefficienti, matriciale, sparso e anche in formato JSON. È possibile specificare il problema direttamente nel codice o attraverso un file esterno, semplificando l'integrazione con progetti esistenti e facilitando la gestione di input complessi.

La libreria SSC è inoltre in grado di risolvere problemi di programmazione lineare con variabili semicontinue e supporta Special Ordered Sets (SOS) di tipo 1 e 2. Questo permette di affrontare una vasta gamma di problemi di ottimizzazione complessi, come quelli che richiedono la selezione di variabili binarie o la gestione di variabili consecutive con vincoli particolari.

SSC utilizza l'algoritmo del Simplesso per risolvere questa classe di problemi, comunemente indicati con la sigla LP (Linear Programming), ma supporta anche problemi con variabili libere, intere, binarie, semicontinue e semicontinue intere, comunemente noti come MILP (Mixed Integer Linear Programming). Per la risoluzione di MILP, che includono variabili intere o binarie, SSC adotta l'algoritmo del Branch and Bound (B&B) .

La forma di problemi che le API fornite da SSC risolvono è la seguente :

\( \hspace{3cm} \text{ max/min } \hspace{0.3cm} c^{\mathrm{T}}x \hspace{1cm} \text{è la funzione obiettivo (f.o.) } \)

vincolato a :

\( \hspace{3cm} Ax\, (\le , = , \ge)\, b \)
\( \hspace{3cm} l_{i} \le x_{i} \le u_{i} \hspace{0.5cm} \text{ oppure }\, x_{i}=0\)
\( \hspace{3cm} x_{i} \in \mathbb{Z} \hspace{1.6cm} \forall i \in \text{I} \)
\( \hspace{3cm} x_{i} \in \{0,1\} \hspace{0.8cm} \forall i \in \text{B} \)
\( \hspace{3cm} x_{i} \in \mathbb{R} \hspace{1.6cm} \forall i \notin (\text{I} \cup \text{B}) \)

dove:

\( \hspace{3cm} x\, \in \mathbb{R}^{n} \hspace{5cm} \text{è il vettore delle variabili}\, x_{i} \)
\( \hspace{3cm} A \in \mathbb{Q}^{m \times n} \hspace{4.4cm} \text{è la matrice dei coefficienti} \)
\( \hspace{3cm} c\,\, \in \mathbb{Q}^{n} \hspace{5cm} \text{è il vettore dei coefficienti della f.o.} \)
\( \hspace{3cm} b\,\, \in \mathbb{Q}^{m} \hspace{4.9cm} \text{è il vettore dei coefficienti RHS} \)
\( \hspace{3cm} l\,\,\, \in \mathbb{Q}^{n} \hspace{5cm} \text{è il vettore dei lower bound }\, l_{i} \)
\( \hspace{3cm} u\, \in \mathbb{Q}^{n} \hspace{5cm} \text{è il vettore degli upper bound }\, u_{i} \)
\( \hspace{3cm} \text{I}\,\, \subseteq \{1,..,n\} \hspace{3.7cm} \text{è un sottoinsieme degli indici relativo alla variabili intere} \)
\( \hspace{3cm} \text{B} \subseteq \{1,..,n\}\, : \, (\text{I} \cap \text{B}) = \emptyset \hspace{0.9cm} \text{è un sottoinsieme degli indici relativo alla variabili binarie} \)

Il metodo del simplesso puo' essere suddiviso in due fasi. Nella fase 1 si trova una soluzione di base ammissibile, mentre nella fase 2 si trova una soluzione ottimale. La procedura gestisce variabili libere, variabili delimitate inferiormente e superiormente e le diverse gamme di vincoli. Se non vengono specificati limiti inferiori espliciti, SSC definisce le variabili delimitate inferiormente dallo zero (variabili non negative).

In SSC quando una variabile viene definita come una variabile intera o binaria, la procedura utilizza l'algoritmo del Branch and Bound per l'ottimizzazione. Nel Branch and Bound si risolve una successione di problemi rilassati (ovvero privati dei vincoli di interezza); per risolvere questi problemi rilassati si utilizza l'algoritmo del Simplesso.

Il metodo del simplesso è un algoritmo efficiente per la risoluzione di problemi di programmazione lineare continui (ovvero, quelli privi di variabili intere), il che consente di gestire problemi con un numero elevato di variabili e vincoli. Eseguendo il simplesso con SSC, i limiti sono eventualemnte legati alla disponibilità di memoria della jvm. Ad esempio se si dichiara alla jvm di rendere disponibile una quantità massima di 4 Gigabyte di memoria (tramite la dichiarazione -Xmx4g) è possibile risolvere problemi con migliaia di variabili e migliaia di vincoli.

Al contrario, il metodo del Branch and Bound ha una complessità computazionale maggiore, in quanto deve risolvere una succcessione di simplessi; questo lo rende molto più oneroso in termini di tempo di calcolo e risorse necessarie rispetto al singolo metodo del simplesso. Di conseguenza, la dimensione dei problemi di MILP risolvibili non può che essere limitata.

Il requisito per far eseguire i programmi SSC è quello di poter disporre di un JDK (o SDK) java versione 10.x o successive. Nessun altro requisito è richiesto.